Метод интервалов урок

Метод интервалов Высшая математика — просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: Зарегистрируйтесь метод интервалов урок и будьте в курсе новостей проекта! Высшая математика: Не нашлось нужной задачи? Учимся решать: Аналитическая геометрия: Элементы высшей алгебры: Метод интервалов урок Производные функций: Функции и графики: ФНП: Интегралы: Дифференциальные уравнения: Числовые ряды: Функциональные ряды: Кратные интегралы: Комплексный анализ: Теория вероятностей: Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, мне об этом Кнопка для сайта: Когда нет времени: Метод интервалов урок разобраться в теме, подготовиться к экзамену Нули функции. Метод интервалов Значительная доля материала, касающегося исследования функций, традиционно относится к школьной программе, и данная статья не является исключением из правила. Сегодня мы потренируемся в нахождении нулей интервалов знакопостоянства функции, а также подробно разберём метод интервалов, который можно сравнить с надёжной арматурой в стенах рассматриваемой темы. Если же проект вашего здания находится на стадии котлована, пожалуйста, начните с вводного урока. Кроме того, желательно ознакомиться со статьями, и, по существу, информация этой странички — логическое продолжение. Материал, естественно, будет полезен и старшеклассникам. Открываем карты: Что такое нули функции и что такое интервалы знакопостоянства функции? Чтобы найти нули функции нужно решить уравнението есть найти те метод интервалов урок «икс», при которых функция обращается в ноль. В следующем условном примере нули функции обозначены красными точками: Очевидно, что. Метод интервалов урок, что точка не является нулём функции, поскольку не входит в её. В нашем случае функция положительна на интервалахто есть для любого значения «икс» любого из перечисленных интервалов справедливо строгое неравенство. Или совсем просто — график функции метод интервалов урок таких интервалах расположен ВЫШЕ оси абсцисс. На интервалах функция отрицательна, то есть любому значению «икс», принадлежащему этим метод интервалов урок соответствует строгое неравенствои график функции метод интервалов урок НИЖЕ оси. Метод интервалов урок запись перечисленных фактов выглядит так:если ;если. Строки можно переставить местами, это не имеет принципиального значения, лично я привык сначала указывать интервалы, на которых функция положительна. Что можно сказать об интервале? Только то, что функция не определена на данном интервале, и, разумеется, о знакопостоянстве речи не идёт вообще. Примечание : в математике более широким является термин «промежуток», который включает в себя не только интервал, но и полуинтервал либо отрезок. Полуинтервалы и отрезки знакопостоянства часто встречаются у кусочно-заданных функций. В частности, если на вышеуказанном чертеже «закрасить» точку с абсциссойто получим промежуток в данном случае — полуинтервал знакопостоянства. Однако далее будут рассматриваться «обычные» функции, обладающие только интервалами знакопостоянства, поэтому в термине «промежуток метод интервалов урок нет особой нужды. Как найти интервалы знакопостоянства функции? Алгоритм метода интервалов прост и бесхитростен: 1 Находим. Чертим ось и откладываем на ней точки разрыва если они естьа также нули функции если метод интервалов урок есть. Определяем знаки функции на интервалах, которые входят в область определения. Пункты можете законспектировать, впрочем, алгоритм очень быстро запомнит даже полный чайник. Тут всё прозрачно и логично. Начнём с распространённой квадратичной функции: Пример 1 Найти интервалы знакопостоянства функции. Решение: 1 Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Таким образом, и «нехорошие» промежутки отсутствуют. Для этого нужно решить уравнение. В данном случае: Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два действительных корня: 3 Откладываем все найденные точки на числовой оси: В статье я выполнял подобные чертежи схематически, но сейчас для бОльшей наглядности изложения буду их масштабировать за исключением клинических случаев. На том же уроке мы узнали, метод интервалов урок выяснить знаки функции на интервалах — можно проанализировать расположение параболы. В данном случае ветви параболы направлены вверх, следовательно, на интервалах функция будет положительна:. Попа параболы сидит метод интервалов урок интервале ниже оси абсцисс, и функция здесь отрицательна:. Хорошо, параболу многие читатели представляют. Но что делать, если функция более сложная? Заметная часть аудитории уже затруднится сказать, как принципиально выглядит график данной функции. И это, так скажем, ещё только минимальное усложнение. Однако и в простых и в сложных случаях работает универсальный способ: Рассмотрим функцию непрерывную на некотором интервалеграфик которой не пересекает ось на метод интервалов урок интервале. Тогда: — если функция положительна в какой-либо точке интервалато она положительна и ВО ВСЕХ точках данного интервала; — если функция метод интервалов урок в какой-либо точке интервалато она отрицательна и ВО ВСЕХ точках данного интервала. Включите немного воображения: если на интервале нет точек разрыва, и график не пересекает метод интервалов урок абсцисс, то он не может по мановению волшебной палочки перескочить из нижней полуплоскости в верхнюю полуплоскость или наоборот. Поэтому знак метод интервалов урок на таком интервале легко определить по одной-единственной точке. С вычислительной точки зрения проще всего взять. Подставляем её в нашу функцию: Следовательно, функция положительна и в метод интервалов урок точке интервала. Снова выполняем подстановку: А, значит, функция отрицательна и в каждой точке интервала. Выполненные подстановки, вычисления почти всегда нетрудно выполнить устно, но в крайнем случае существует и черновик. Фиксируем полученные результаты на числовой оси: Да, вы не имеете никаких представлений о параболе, но совершенно точно можете сказать, что на интервалах график функции расположен ВЫШЕ осиа на интервале — НИЖЕ данной оси. Ответ:если ;если. Точно так же решается целый спектр задач-«сателлитов», вот некоторые из них: Решить квадратичное неравенство. Проводим аналогичные действия и даём ответ. Проводим аналогичные действия и даём ответ. Проводим аналогичные действия, даём ответ. Метод интервалов работает в самых примитивных случаях, например, для функции. Здесь прямая пересекает ось абсцисс в точкепри этом слева от данной точки график ниже осиа справа график выше оси. Тем не менее, для тех, кто в танке, задача разрешима и методом интервалов. Может ли функция метод интервалов урок положительно или отрицательной на всей числовой прямой? Конечно, в статье мы рассмотрели метод интервалов урок примеры. В частности выяснили, что парабола, полностью лежащая в верхней полуплоскости. Метод интервалов проходит и тут! Рассматриваем единственный интервалберём из него самую удобную точку и выполняем подстановку:. А значит, функция положительна и в каждой точке интервала. Перейдём к кубическим многочленам: Пример 2 Найти интервалы знакопостоянства функции. Решение: снова придерживаемся алгоритма: 1 Функция определена на всей числовой прямой. Для этого выполним разложение на множители: Таким образом, нули функции:. Вы можете не знать, как выглядит график функциино уже, по крайне мере, понятно, где он выше осиа где ниже. Кубическая функция настолько распространена, что не удержусь от полного чертежа «молнии»: Казалось бы, решение можно метод интервалов урок взять левый интервалвыяснить, что на нём функция отрицательна, а дальше знаки будут чередоваться — «плюс», «минус», «плюс». Знакочередование бывает часто, но… ЗНАКИ ЧЕРЕДУЮТСЯ ДАЛЕКО НЕ ВСЕГДА Поэтому не ленимся — ТЕРПЕЛИВО рассматриваем КАЖДЫЙ интервал: из КАЖДОГО интервала берём наиболее выгодную точку и выясняем знак функции в данной точке. Вот простой пример, когда интервала два, но знакочередования нет:. Экспонента всегда положительнаквадрат неотрицателенпоэтому вся функция неотрицательна:очевидно, достигая нуля в единственной точке. Такого решения будет вполне достаточно. Не обязательно чертить координатную ось! Обратите внимание, здесь есть тонкость при записи ответа:если. То есть, функция положительна везде, кроме точки ноль. Но формально можно использовать метод интервалов, который приведёт нас к такому метод интервалов урок результату: Если честно, не помню, как выглядит чертёж, однако совершенно точно можно сказать, что график данной функции лежит в верхней полуплоскости и касается оси абсцисс в точке. Или парабола, касающаяся оси, например:. Кстати, если вы внимательно изучилито сразу поймёте, как расположена данная парабола. Следует отметить, что ситуация касания графика оси не единственна, метод интервалов урок ряде случаев функция не меняет знак при переходе через метод интервалов урок разрыва. Хороший пример встретился в статье :. Пример 3 Найти интервалы знакопостоянства функции. Это пример для самостоятельного решения. После того, как определите знаки на интервалах, попытайтесь представить, как выглядит данная «молния». Примерный образец чистового оформления задания в конце урока. Функции с многочленами встречаются очень часто, поэтому имеет смысл рассмотреть ещё пару экземпляров: Пример 4 Найти интервалы знакопостоянства функции. Решение: 1 Функция определена на всей числовой прямой. Функция-многочлен 4-й степени тоже достойна полного графика: Собрат для самостоятельного решения: Пример 5 Найти интервалы знакопостоянства функции. В ходе выполнения задания метод интервалов урок решить так называемое биквадратное уравнение, которое также рассматривается в школьном курсе математики. В данном примере необходимо провести заменуразобраться с уравнениемнайти корни и на финише из равенств получить 4 корня. Полное решение и ответ в конце урока. Перейдём к обширной группе функций, у которых есть : Пример 6 Найти интервалы знакопостоянства функции. Чем отличается данный пример от всех предыдущих? Напоминаю, что практически так же решается ряд смежных задач, например: Решить неравенство Ответ: Решить неравенство Ответ: Найти область определения функции Ответ: И т. Короткое разминочное задание для самостоятельного решения: Пример 7 Найти интервалы знакопостоянства функции. Кстати, подобные вещи вполне реально решить мысленно! Попытайтесь найти интервалы знакопостоянства «в уме», тем более, вы ничем не рискуете — в конце урока есть готовый образец. Рассмотрим более навороченные дробно-рациональные функции: Пример 8 Найти метод интервалов урок знакопостоянства функции. Решение: далее пункты алгоритма нумеровать не будем. Проверим, обращается ли знаменатель в ноль: Перепишем квадратное уравнение в привычном виде: И для удобства сменим знаки у каждого слагаемого:!!! Внимание : в САМОЙ ФУНКЦИИ так делать НЕЛЬЗЯ! В ней знак «минус» не пропадает:. Дискриминант больше нуля, значит, уравнение имеет два действительных корня и в область определения не войдут метод интервалов урок точки: Найдём точки пересечения графика с осью абсцисс:. Нулевым может быть только числитель, поэтому рассматриваем уравнение. Решение можно провести через дискриминант, однако нетрудно заметить, что у нас квадрат разности: Таким образом, функция обращается в ноль в единственной точке: Используя уже наработанный алгоритм, определим знаки функции на полученных интервалах: Ответ:если ;если. Как выглядит график функции, знают немногие, но совершенно точно можно сказать, что на интервалах он расположен ВЫШЕ осиа на интервалах — НИЖЕ данной оси. В точке график, кстати, только касается её. Пример 9 Найти интервалы знакопостоянства функции. Это пример для самостоятельного решения. Заключительные примеры посвящены функциям, в которые входит натуральный логарифм: Пример 10 Найти интервалы знакопостоянства функции. Просто и со вкусом. Решение: функция определена и непрерывна на интервале. Найдём точки пересечения графика метод интервалов урок осью абсцисс: Нулю может быть равен только числитель: Метод интервалов урок определению логарифма которое нужно бы уже хорошо усвоить метод интервалов урок Отметим найденные точки на числовой прямой: На промежутке функция не определена вообще. Об этом можно сделать пометку на чертеже либо просто оставить полуинтервал без внимания. Я обычно не ставлю никаких знаков. Определим знаки на интервалах, которые входят в : Таким образом: Ответ:если ;если. На практике под логарифмом часто метод интервалов урок квадратный дву- или трёхчлен. Пожалуйста, ВНИМАТЕЛЬНО изучите оставшиеся метод интервалов урок, в которых метод интервалов используется ДВАЖДЫ: первый раз для нахожденияа второй раз для нахождения интервалов знакопостоянства. Пример 11 Найти интервалы знакопостоянства функции. Выражение метод интервалов урок знаком логарифма должно метод интервалов урок положительным: Квадратичное неравенство решим методом интервалов. Метод интервалов урок, существуют ли действительные корни соответствующего уравнения: Да, уравнение имеет два действительных перца. Не нужно удивляться, что дискриминант получился «плохой», это довольно распространённый инцидент в ходе. Невозмутимо находим корни: Откладываем метод интервалов урок точки на числовой прямой. Их следует выколоть, поскольку неравенство строгое. Далее стандартно из каждого интервала выбираем наиболее простую точку, и определяем знаки функции на полученных интервалах: Таким образом, : Что теперь? Теперь ЗАБЫВАЕМ про найденные знаки интервалы знакопостоянства. Самый важный факт состоит в метод интервалов урок, что отрезок не входит в область определения функции. На втором шаге находим точки пересечения графика с осью абсцисс нули функции : Решаем ещё одно квадратное уравнение: Снова используем метод интервалов. Откладываем на числовой прямой Метод интервалов урок найдённые ранее точки: Тесновато получилось, но что делать, зато масштаб выдержан. Определяем знаки функции на интервалах, при этом не забываем, что отрезок посередине не входит в область определения, и возиться с ним не надо! Но от этого, увы, не легче, так как подстановка будет брутальной. Придётся тыкать по клавишам калькулятора: Таким образом: Ответ:если ;если. Что метод интервалов урок сказать о графике функции? На отрезке его не существует вообще, на крайних интервалах он расположен выше осина маленьких интервалах — ниже данной оси, точки пересечения с метод интервалов урок. Пример 12 Метод интервалов урок интервалы знакопостоянства функции. Это метод интервалов урок для самостоятельного изучения. На первом шаге решение можно ускорить — неравенство значительно выгоднее решить аналитически, нежели использовать метод интервалов. Данный способ подробно рассмотрен на уроке. Вот, пожалуй, и метод интервалов урок основные задания по теме, которые встречаются на практике в ходе. Хочется привести примеры сложнее, но они будут в известной степени надуманы. Решения и ответы: Пример 3: Метод интервалов урок 1 Функция определена на всей числовой прямой. Пример 5: Решение: метод интервалов урок Функция определена на всей числовой прямой 2 Найдём нули функции: Проведём замену: 3 Выполним чертёж и определим знаки функции на найденных интервалах: Ответ :если ;если. Метод интервалов урок 7: Решение: 1 Функция определена на всей числовой прямой, кроме точки. Пример 9: Решение: точки не входят в область определения функции. График функции не пересекает осьт. Методом интервалов определим знаки функции: Ответ :если ;если. Пример 12: Решение: найдём область определения: Таким образом, Найдём точки пересечения графика с осью абсцисс: Определим знаки функции на полученных интервалах: Ответ :если ;если. Автор: Емелин Александр Переход на главную страницу.

Официальный сайт электронной библиотеки
mdou51.ru © 1999—2016 Электронаая библиотека